La representación de perspectivas de cuerpos con fines artísticos, industriales o arquitectónicos es la principal finalidad del sistema cónico. Las perspectivas por este sistema representadas ofrecen una visión mucho más real del objeto por su similitud con la visión humana, en especial el método del cuadro inclinado o de tres puntos de fuga, con la salvedad de que nuestra visión es estereoscópica por un lado (dos centros de proyección o puntos de vista para un mismo objeto, muy cercanos uno del otro, que generan una visión en tres dimensiones) y que el fondo del ojo, nuestro «plano del cuadro», es esférico.
Para la representación de los cuerpos en perspectiva existen numerosos métodos que se utilizan en función de las posiciones relativas de los cuerpos a representar respecto del sistema de referencia o de las características del objeto representado.
En cualquier caso todos ellos responden a los criterios estudiados en sistema cónico y derivan del método directo que más adelante estudiaremos.
La situación del punto de vista es determinante a la hora de ver una pieza y por tanto aquí de su representación cónica, estudiaremos de qué forma influye su elección en el resultado.
PERSPECTIVA CÓNICA. PARÁMETROS.
Para poder representar una figura en perspectiva cónica, deben de darnos a conocer los siguientes parámetros o variables que determinarán con exactitud la posición relativa de la pieza respecto del sistema de referencia y el punto de vista. Normalmente, la pieza a representar vendrá dada por sus vistas en Sistema Diédrico Ortogonal. Suponiendo que el plano horizontal de proyección en Sistema Diédrico es el geometral en Perspectiva Cónica, el plano del cuadro será un plano proyectante horizontal, de perfil, frontal o el propio vertical de proyección, en definitiva cualquier plano perpendicular al horizontal de proyección.
A menudo, con el objeto de simplificar los datos, darán a conocer la planta del objeto, la traza del cuadro con el geometral (la línea de tierra) y la proyección sobre éste del punto de vista en un diagrama, indicando a continuación la altura del objeto y del punto de vista.
En cualquier caso, deben de quedar siempre determinados los siguientes parámetros. Figura 1:
Distancia principal: Distancia de V al cuadro. (d).
Excentricidad: desplazamiento del vértice del objeto más cercano al punto Principal P de (e).
Dirección principal: Define el ángulo de una de las aristas de la base del objeto respecto de la línea de tierra.
Distancia: a la que está el objeto respecto del cuadro.
Altura del horizonte: Altura del punto de vista respecto del geometral (ho).
Perspectiva cónica. Parámetros.
UBICACIÓN DEL PUNTO DE VISTA.
La posición del punto de vista V respecto al plano del cuadro y al geometral es determinante en la representación que obtengamos del objeto. Suponiendo el cuerpo a representar en la región I, la representación cónica de éste será siempre menor que el propio objeto, reduciéndose más a medida que alejemos éste del cuadro. En este sentido, resulta aconsejable que la distancia del objeto al cuadro sea una vez y media la mayor magnitud del cuerpo. Por otra parte, una distancia focal pequeña generará una representación aún más pequeña del cuerpo. En ésta ubicación es aconsejable que la distancia focal sea por lo menos igual a la magnitud mayor del cuerpo.
Perspectiva cónica. Ubicación del punto de vista.
Si el objeto está situado en la región II se verá ampliado en su representación cónica estando invertido si lo situamos en la tercera región. Figuras 2 A y B. La altura ho del punto de vista también influye la visión que tengamos del objeto y por tanto en su representación cónica. Suponiendo el cuerpo apoyado en el plano geometral, si la altura del punto de vista es mayor que la mayor altura del cuerpo, veremos a éste desde arriba, desde abajo si no está por debajo de la línea de tierra. Figuras 3 A y B.
Perspectiva cónica. Ubicación del punto de vista.
Teniendo en cuenta que el ángulo de visión humana es de 60º, procuraremos que las figuras representadas se sitúen dentro de la base, situada en el plano del cuadro, de un cono recto y de revolución de eje VP y cuyas generatrices formen 60º con el plano de la base. Este cono es el cono de visión humana, los objetos representados fuera de su base experimentarán distorsiones que se acentuarán a medida que nos alejemos de dicha base tal y como sucede con una fotografía tomada con un objetivo “gran angular”. Figura 4.
Perspectiva cónica. Ubicación del punto de vista.
MÉTODOS.
Existen numerosos métodos para resolver perspectivas cónicas. La elección de uno u otro depende generalmente de la situación relativa entre el cuadro y el objeto. En base a esto he establecido 2 grupos:
Métodos para resolver perspectivas oblicuas.
Métodos para resolver perspectivas frontales.
Hay un tercer caso se ocupa de situaciones en las que, el objeto está tan alto o tan bajo respecto del observador, que tenemos que inclinar el plano del cuadro por lo que se denomina método del cuadro inclinado.
Los métodos del primer y segundo grupo se ocupan de casos en los que el cuadro es perpendicular al geometral. El primer grupo se emplea principalmente para resolver perspectivas oblicuas (cuando las principales aristas del cuerpo son oblicuas al cuadro) y el segundo para resolver perspectivas frontales (cuando las principales aristas del cuerpo son paralelas o perpendiculares al cuadro). Salvo el método directo que trabaja calculando en Sistema Diédrico Ortogonal la intersección de la pirámide visual que contiene a los puntos más representativos de la pieza (vértices) con el cuadro y que resulta válido y de idéntico trazado para ambos grupos, la principal diferencia entre éstos estriba en que el primero calcula la proyección cónica de las intersecciones de rectas que, perteneciendo al plano geometral, pasan por las aristas o puntos de interés de la base del cuerpo y el 2º grupo calcula la proyección cónica de los vértices del cuerpo punto a punto a partir de sus coordenadas. En cualquier caso los métodos de los grupos 1º y 2º se pueden usar indistintamente. Los subgrupos dentro de cada grupo (métodos perspectivos), son variaciones sobre lo mismo con objeto de simplificar el trazado o adecuarlo a diferentes aplicaciones.
Perspectivas oblicuas
Como hemos dicho, las perspectivas oblicuas son las que tienen sus principales aristas, salvo las perpendiculares al geometral, oblicuas al cuadro. Estas aristas están por lo general contenidas en el plano geometral o son paralelas a él por lo que sus puntos de fuga coinciden en la línea del horizonte.
Para resolver estas perspectivas son aconsejables los siguientes métodos:
Método directo
Método de prolongaciones.
Método de las distancias métricas.
Método de proyecciones visuales.
Perspectivas cónicas frontales.
Los métodos que a continuación estudiaremos se suelen emplear cuando las aristas de la base de la figura a representar, contenida en el geometral, se presentan paralelas o perpendiculares al cuadro, las primeras fugan sobre la línea del horizonte pero en el infinito y las segundas fugan a P, punto principal.
Habitualmente, las proyecciones en Sistema Diédrico Ortogonal de los planos, rectas y superficies representadas no muestran su forma real, las proyecciones sobre los planos de referencia generan deformaciones angulares y variaciones métricas cuando los elementos a representar están situados en planos oblicuos a los de proyección.
Para obtener la verdadera magnitud lineal y angular de un segmento, un ángulo o una superficie plana determinada colocaremos el plano que contiene a estos elementos o los elementos en sí, paralelos o contenidos en uno de los planos de proyección o viceversa, un plano de proyección paralelo a los elementos. De este modo las proyecciones se mostrarán en verdadera magnitud sobre el plano de proyección correspondiente pues, en proyecciones cilíndricas ortogonales, si las superficies a proyectar y el plano de proyección son paralelos o coincidentes no se producen deformaciones lineales ni angulares en la figura proyectada. Emplearemos en Sistema Diédrico Ortogonal para calcular la verdadera magnitud de una figura los siguientes métodos:
Abatimientos.
Cambios de Plano.
Giros.
ABATIMIENTOS
Abatir un plano P es hacerlo coincidir con otro Q, empleando como charnela (o bisagra) la recta intersección o traza entre ambos. Generalmente se abate un plano sobre alguno de los de proyección con objeto de apreciar en verdadera magnitud y forma los objetos contenidos en el plano abatido.
Podemos abatir un plano sobre el plano vertical de proyección empleando como charnela la traza vertical o bien sobre el plano horizontal de proyección, en cuyo caso emplearemos la traza horizontal del plano a abatir como charnela. A efectos de verdadera magnitud es indiferente sobre cuál de los dos planos de proyección se abata el plano.
Al utilizar como charnela una de las trazas del plano, solo experimenta movimiento la otra traza y los puntos o elementos contenidos en el plano, quedando en el mismo lugar la primera. A continuación veremos cómo se abaten diversos planos y algunos de los elementos contenidos en estos.
ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE VERTICAL.
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.
Abatir un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección es como «pasar las páginas de un libro». Si abatimos un plano proyectante vertical Q sobre el plano horizontal de proyección, su traza horizontal, normal a la línea de tierra, servirá de charnela y permanecerá por tanto en el mismo lugar. Su traza vertical girará en un sentido o en otro y con centro en n, punto de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra, hasta coincidir con esta, como se aprecia en la figura 1.
En proyecciones diédricas, trazaremos un arco de centro n y radio na’, siendo A un punto arbitrario del plano Q contenido en su traza vertical, hasta cortar en A1 a la línea de tierra. La nueva traza Q’ abatida, se denominará de igual modo pero con el subíndice 1 para distinguirla: Q’1.
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.
La figura BCD contenida en el plano se mostrará en verdadera magnitud una vez abatido el plano que la contiene. Para obtener la nueva posición de los puntos B, C y D trazamos normales a la charnela Q desde sus proyecciones horizontales b, c y d hasta cortar a las normales correspondientes trazadas a la línea de tierra por donde los arcos de centro en n y radios nb’, nc’ y nd’ la corten obteniendo los puntos B1, C1 y D1 buscados. (Véase abatimiento de una figura plana situada en un plano en este mismo tema). Fig. 2
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano vertical de proyección.
Al utilizar como charnela la traza vertical del plano, esta permanecerá inmóvil en el abatimiento siendo la traza horizontal Q la que cambie de ubicación, pasando a estar ahora sobre el plano vertical en Q1. Tomando un punto A de la traza horizontal, procedemos de igual modo que en el ejercicio anterior y obtenemos A1 que determina la dirección de la traza Q1. Observemos que, y por ser el plano Q proyectante, el ángulo real que forman entre sí sus trazas es perpendicular. Tras el abatimiento, ya en verdadera magnitud, las trazas Q’ y Q1 deben mostrarse por tanto perpendiculares entre sí.
En proyecciones diédricas, para calcular la traza abatida Q1 del plano bastará con trazar una recta perpendicular a la traza vertical Q’ por el punto nn’. El punto A de la traza horizontal estará ubicado tras el abatimiento en A1. Fig. 3
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano vertical de proyección.
Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano vertical de proyección.
La charnela Q’ permanece inmóvil siendo Q la que gira hasta coincidir con la línea de tierra en un sentido u otro. Un punto A situado en la traza Q del plano tendría su ubicación una vez abatido en A1 sobre la línea de tierra a un lado u otro de la charnela Q’. La traza abatida y la charnela han de mostrarse en todo caso normales entre sí. Fig. 4
Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano vertical y horizontal de proyección.
Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano horizontal de proyección.
Se resuelve de idéntico modo que los ejercicios precedentes. La traza abatida y la charnela han de ser normales. Fig. 5
ABATIMIENTO DE LAS TRAZAS DE UN PLANO OBLICUO.
Abatiremos la traza vertical de un plano oblicuo Q sobre el plano horizontal de proyección. En realidad abatimos el plano en su totalidad pero es la traza vertical la que experimenta cambio gráficamente. La traza horizontal será la charnela del abatimiento permaneciendo por tanto invariable. Podemos trabajar de dos modos distintos:
Tomamos un punto A de la traza Q’ y lo abatimos sobre el plano horizontal en A1, uniéndolo con N, punto de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra, obtendremos la traza Q’1 abatida. Para abatir el punto A, trazamos por él una recta R de máxima pendiente del plano, esta recta corta a la traza horizontal del plano en el punto m.
Las proyecciones del punto a’ y a, forman junto a m, un triángulo rectángulo cuya hipotenusa, el segmento a’m, es la recta de máxima pendiente del plano y debe de coincidir tras el abatimiento, por ser una recta del plano Q, con el plano horizontal de proyección. La recta de máxima pendiente es pues radio de un arco de circunferencia de centro m que tendremos que trazar hasta ubicarla sobre el plano horizontal de proyección y localizar así en su extremo la posición de A abatido.
Para poder trazar esta circunferencia representada en la figura 6 en visión espacial, en proyecciones diédricas, abatimos previamente el mencionado triángulo sobre el plano horizontal de proyección tomando como charnela su cateto am. Para ello trazamos una recta paralela a la traza horizontal de Q o normal al propio cateto am por a, llevando sobre ella y a partir de a, la magnitud del cateto aa’ que no es sino la cota del punto A conocida, obtenemos de este modo el punto a’0, vértice del triángulo abatido. Uniendo a’0 con m, invariable en este abatimiento previo, obtenemos la hipotenusa que no es sino la recta R abatida sobre plano horizontal de proyección y radio del arco que tenemos que trazar.
Situado el triángulo sobre el plano horizontal de proyección podemos trazar ya el arco de centro m y radio m-a’0hasta cortar a la prolongación del cateto am en A1 punto buscado. Uniendo el punto n, vértice de las trazas del plano Q en la línea de tierra con A1, obtenemos la traza vertical del plano Q abatida sobre el plano horizontal de proyección en Q’1. Fig. 7.
En cualquier abatimiento, todos los puntos del plano abatido describen circunferencias situadas en planos normales al plano a abatir. Estas circunferencia tienen su centro en la charnela y radios que van desde el punto de intersección entre la circunferencia y la charnela a los respectivos puntos. Si los puntos están situados en una de las trazas (la contraria a la charnela escogida), los radios mencionados serán rectas de máxima pendiente o inclinación según abatamos sobre el plano horizontal o vertical de proyección respectivamente.
Abatimiento de las trazas de un plano oblicuo.
Simplificación del método.
Si observamos el ejercicio anterior veremos que las distancias nA1 y na’ son iguales. Esto es así pues el segmento NA está en verdadera magnitud por pertenecer a la traza vertical y una vez abatido en NA1 mide, lógicamente, lo mismo. Podemos por tanto abatir la traza vertical de Q sobre el plano horizontal de proyección de un modo más rápido haciendo centro en n’ y trazando un arco de radio n’a’ hasta cortar a la prolongación del segmento am en A1 que unido posteriormente con n determinará Q’1. Fig. 8.
ABATIMIENTO DE LA TRAZA HORIZONTAL DEL PLANO SOBRE EL PLANO VERTICAL DE PROYECCIÓN.
Se procede de igual modo que en los ejercicios anteriores, siendo en este caso el radio del arco de abatimiento la recta R de máxima inclinación del plano dado Q. En la figura 9 se resuelve según los dos métodos vistos anteriormente.
Abatimiento de la traza horizontal del plano sobre el plano vertical de proyección.
ABATIMIENTO DE UN PUNTO SITUADO EN UN PLANO DADO Q.
Cuando hablamos de abatir un punto, nos referimos a abatir el plano que lo contiene para poder de este modo ver la situación del punto en alguno de los planos de proyección, en este caso sobre el plano horizontal. Primero comprobaremos mediante una recta del plano, en este caso la horizontal T, que el punto pertenece efectivamente al plano Q.
El proceso a seguir es el mismo que en el ejercicio anterior, siendo la única diferencia que este punto no está situado en la traza vertical del plano. Hacemos pasar por el punto dado A, una recta de máxima pendiente R y a partir de la proyección horizontal del punto, trazamos un segmento paralelo a la traza horizontal del plano cuya magnitud sea igual a la COTA del punto A, uniendo el extremo de este segmento, a’o, con el punto m de intersección entre la proyección horizontal de R y la traza Q del plano, obtenemos la hipotenusa del triángulo rectángulo radio del giro según vimos en el ejercicio anterior, primer método. Haciendo centro en m y con radio igual a la trazamos un arco hasta cortar a la prolongación de la proyección horizontal de R obteniendo así la ubicación sobre el plano horizontal del punto A abatido, A1. Fig.10
En la figura 11, hemos abatido el punto A sobre el plano horizontal de proyección auxiliándonos de la traza vertical del plano abatida en Q’1 según el segundo método del ejercicio anterior. Para ello hemos abatido un punto de la traza vertical, v’ en v’1 que unido con n define Q’1. Trazamos una recta perpendicular por la proyección horizontal de A a Q y una recta paralela a t por v’1 (recta horizontal T abatida en T1), donde ambas se cortan tenemos A1.
El abatimiento de un punto sobre el plano vertical de proyección se realiza del mismo modo pero a partir de una recta de máxima inclinación en el primer caso y auxiliándonos de la traza horizontal del plano dado, abatida sobre el plano vertical de proyección.
Abatimiento de un punto situado en un plano dado Q.
ABATIMIENTO DE UN SEGMENTO SITUADO EN UN PLANO DADO.
Para abatir un segmento dado AB, situado en un plano Q, comprobaremos primero que efectivamente pertenece al plano mediante, por ejemplo, rectas horizontales del plano Q, T y S que pasen por los extremos del segmento A y B respectivamente.
Abatiremos los puntos A en A1 y B en B1, sobre el plano horizontal en este caso, como hemos visto en las figuras 10 y 11, uniendo A1 con B1 tendremos abatido sobre el plano horizontal de proyección el segmento dado y por tanto en verdadera magnitud.. En la figura 12 se realiza el ejercicio a partir de una recta de máxima pendiente del plano que pase por A y en la figura 13 a partir de la traza vertical Q’ del plano abatida.
Abatimiento de un segmento situado en un plano dado.
ABATIMIENTO DE UNA SUPERFICIE PLANA SITUADA EN UN PLANO DADO.
Como en el caso del segmento resuelto anteriormente, lo primero es comprobar si realmente pertenece dicha superficie al plano. Para ello emplearemos rectas auxiliares, por ejemplo, horizontales.
La superficie a abatir será en el ejemplo un triángulo obtusángulo de vértices A, B y C. El procedimiento a seguir es exactamente el mismo que el empleado en el abatimiento de un punto o de un segmento vistos anteriormente. En el ejercicio de la figura 14 el abatimiento se efectúa sobre el plano horizontal de proyección y se resuelve el problema por el segundo método estudiado, es decir, auxiliándonos de la traza del plano que contiene a la superficie plana abatida sobre el plano horizontal de proyección.
Podemos simplificar el trazado haciendo uso de la relación de afinidad existente entre una de las proyecciones de la figura y la propia figura abatida como veremos en el ejercicio siguiente.
Abatimiento de una superficie plana situada en un plano dado y simplificando por afinidad.
ABATIMIENTO DE UNA SUPERFICIE PLANA, SIMPLIPLIFICANDO MEDIANTE AFINIDAD.
Una afinidad queda determinada como sabemos si conocemos el eje de afinidad, la dirección y la relación de afinidad o un punto afín de la figura dada.
La relación de afinidad entre las proyecciones diédricas de una figura y la figura abatida sobre uno de su plano de proyección correspondiente tiene como eje de afinidad la charnela de abatimiento y dirección de afinidad normal a la charnela, solo necesitamos conocer un punto afín de una de las proyecciones de la figura que no es sino un punto abatido por cualquiera de los métodos estudiados.
En el ejercicio de la figura 15, abatimos el punto A en A1 y resolvemos B1 y C1 por afinidad siendo n y ñ puntos dobles de esta relación. Podemos observar que el trazado del ejercicio se simplifica notablemente.
Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.
DESABATIMIENTO DE UNA SUPERFICIE PLANA SOBRE UN PLANO DADO Q.
Se puede dar el caso en que necesitemos situar un punto, segmento o superficie ubicados en uno de los planos de proyección, sobre un plano dado Q, tendremos pues que desabatir estos elementos invirtiendo los pasos estudiados en los abatimientos.
En el ejemplo de la figura 16, conocida la figura A1, B1 C1 abatida sobre el plano horizontal de proyección y dado el plano Q, desabatiremos el triángulo. Podemos desabatir uno de sus vértices y calcular el resto mediante la afinidad existente entre la superficie abatida y la proyección horizontal de la figura contenida en el plano oblicuo Q.
Para desabatir uno de los tres vértices, en el ejemplo el vértice A1, y dejar de este modo definida la relación de afinidad, operamos de modo inverso al abatimiento de un punto, para ello abatimos previamente la traza vertical del plano sobre el plano horizontal de proyección y obtenemos Q’1, trazamos por A1 una recta normal y otra paralela a la traza horizontal del plano y obtenemos en la intersección de esta última con Q’1 el punto m1. Por m1 trazamos una recta normal a la traza Q hasta cortar a la línea de tierra en m desde donde trazamos otra recta paralela a Q hasta cortar a la normal trazada por A1 a Q, obtenemos de este modo la proyección horizontal del punto A, a.
En esta operación nos hemos auxiliado de una recta horizontal del plano que contiene a A1 y la hemos desabatido para obtener la proyección horizontal de A. Obtenido a, y establecida por tanto la afinidad, trazamos las proyecciones horizontales de B y C. Para calcular las proyecciones verticales de la figura contenida en el plano dado Q, nos auxiliamos de rectas horizontales del plano Q que contengan a las proyecciones a, b y c. Obtendremos de este modo los puntos a’, b’ y c’.
EJERCICIO.
Dado el plano Oblicuo Q y la proyección vertical de un punto O en él contenido, dibujar las proyecciones diédricas de un pentágono regular de centro en O dado sabiendo que una de sus diagonales es paralela al plano horizontal de proyección y que uno de sus vértices pertenece a dicho plano. Fig. 17
SOLUCIÓN. Fig. 18
Si el punto O pertenece al plano, la proyección horizontal de O, no dibujada, debe pertenecer a una recta del plano. Hacemos pues pasar por o’ una recta auxiliar que pertenezca al plano dado, en el ejemplo de la figura hemos trazado una recta horizontal del plano dado, determinando de este modo la proyección horizontal de O sobre la proyección horizontal de esta recta auxiliar.
El punto O definido por sus proyecciones diédricas es centro de un pentágono regular. Para poder trazar este polígono, necesitamos trabajar en verdadera magnitud lineal y angular. Abatimos el centro O dado del polígono sobre uno de los planos de proyección (en el ejercicio el plano horizontal) por cualquiera de los métodos estudiados y obtenemos O1, centro del polígono que trazaremos sobre el plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y forma.
El ejercicio exige que uno de los vértices del polígono esté situado en el plano horizontal de proyección y que una de las diagonales de la figura sea paralela a dicho plano.
Para que uno de los vértices de la figura pertenezca al plano horizontal de proyección y al plano dado a la vez debe de estar situado sobre la propia traza Q del plano dado. Por otro lado una diagonal de la figura paralela al plano horizontal de proyección y perteneciente al plano dado Q no es sino una horizontal de Q, se mostrará por tanto la proyección horizontal de esta diagonal paralela a la traza horizontal de Q. La diagonal abatida también se mostrará paralela a la traza horizontal del plano.
Sabiendo que O1 es centro del polígono, que uno de sus vértices (E1) ha de estar situado en la traza horizontal Q y que una de sus diagonales se mostrará paralela a esta (B1-D1), podemos trazar geométricamente el pentágono regular. Trazado el polígono en verdadera magnitud, desabatimos por afinidad mediante la proyección horizontal de O y obtenemos las proyecciones horizontales de la figura. Calculamos las proyecciones verticales de los vértices de la figura mediante rectas del plano que contengan a las proyecciones horizontales y unimos ordenadamente los vértices así obtenidos.
Etimológicamente, el término axonométrico quiere decir eje y medida (axo-métrico). Fue definido por el matemático francés Desargües en el Siglo XVII, siglo de las sistematizaciones científicas. Este sistema de representación nos proporciona, al igual que el Sistema Cónico, una visión directa y de muy fácil interpretación al primer golpe de vista de los cuerpos que por su medio se representan.
Las proyecciones o dibujos con él representados reciben el nombre de perspectivas, existiendo tres tipos de perspectivas, la axonométrica ortogonal, la axonométrica oblicua o caballera y la cónica, según el sistema de representación empleado.
El tipo de proyección que se emplea es este sistema es, como en el Sistema Diédrico Ortogonal, Cilíndrica Ortogonal.
El Sistema Axonométrico Ortogonal emplea un solo plano de proyección denominado Plano del cuadro o de proyección (coincidente con nuestro soporte, generalmente el papel) sobre el que se proyectan directamente los elementos representados.
Además intervienen 3 planos auxiliares que proporcionan otras tantas proyecciones, cada punto del espacio queda totalmente definido con estas tres proyecciones auxiliares y la directa sobre el plano del cuadro.
Los tres planos auxiliares antedichos forman entre sí un triedro trirrectángulo (poliedro formado por tres planos que se cortan dos a dos, según ángulos rectos) que tiene su vértice O coincidente con el plano del cuadro.
El fundamento del sistema consiste en proyectar el punto o elementos a representar ortogonalmente sobre estos planos auxiliares o caras del triedro trirrectángulo para posteriormente proyectarlos, también ortogonalmente y junto a la proyección principal mencionada, sobre el plano del cuadro.
El procedimiento es totalmente reversible, a las cuatro proyecciones de un punto señaladas corresponde un único punto en el espacio. En la figura 1 se representan en perspectiva libre los elementos señalados y las proyecciones directa y secundarias de un punto A del espacio. En la figura 2, hacemos coincidir el plano del cuadro con el papel representando asimismo las proyecciones directa y secundarias del punto A.
Sistema axonométrico. Fundamentos.
DESIGNACIÓN O NOMENCLATURA.
Las intersecciones entre los planos auxiliares o caras del triedro trirrectángulo son las 3 aristas de dicho triedro concurrentes en su vértice O y que proyectadas sobre el plano del cuadro denominaremos ejes axonométricos OX, OY y OZ. Nos servirán de referencia y medida. Los planos comprendidos entre ellos se denominan XOY, XOZ y ZOY.
Las proyecciones secundarias de un punto A se designan a’, a» y a’» (o A1, A2 y A3) según pertenezcan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente.
Las proyecciones secundarias de una recta R se designan r’, r» y r»‘ (o r1, r2, r3) según pertenezcan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente.
Las trazas de un plano β se designan β’, β» y β»‘ (o β1, β2, β3) según correspondan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente.
RECTAS AXONOMÉTRICAS
Las proyecciones directa y secundarias de un punto se unen según un segmento paralelo siempre a alguno de los ejes axonométricos pues, del mismo modo que cada eje o arista del triedro trirrectángulo de referencia es perpendicular al plano del triedro al que no pertenece (por ejemplo el eje OY es perpendicular al plano ZOX), son perpendiculares los segmentos que unen la proyección principal del punto con sus proyecciones secundarias (A con a’ por ejemplo) con relación al plano que contiene a dicha proyección secundaria (en el ejemplo, el plano XOY).
Al ser tanto el eje que no pertenece al plano como el segmento mencionado perpendiculares ambos al plano en cuestión, eje y segmento son por tanto, paralelos entre sí, (en el ejemplo, el eje paralelo es el OZ). Como el paralelismo se conserva en proyecciones cilíndricas ortogonales, las proyecciones principal y secundarias de un punto sobre el plano del cuadro se enlazan siempre mediante segmentos paralelos a alguno de los ejes del sistema.
Las mencionadas rectas, contenidas o paralelas a los ejes axonométricos se denominan rectas axonométricas (isométricas cuando se representan en este sistema).
COORDENADAS EN EL SISTEMA AXONOMÉTRICO.
Los ejes se pueden graduar en unidades de medida, de este modo establecemos un sistema de coordenadas tridimensional, cada punto del espacio viene determinado por estas coordenadas (x,y,z), que corresponden a los ejes OX, OY, OZ respectivamente, quedando así determinadas las tres distancias del punto a los planos de proyección secundarios y por tanto la proyección principal del punto.
Las coordenadas mencionadas son perfectamente compatibles con las conocidas en Sistema Diédrico Ortogonal. El plano ZOX se corresponde con el plano vertical de proyección, el XOY con el horizontal y el ZOY con uno de perfil que pase por el origen de coordenadas, siendo la coordenada «y» el alejamiento, la «z» la cota y la «x» la distancia al plano de perfil. Figura 3.
Coordenadas en el sistema axonométrico.
TRIÁNGULO DE LAS TRAZAS.
Al triángulo formado por las trazas generadas por la sección entre el triedro y un plano P paralelo al plano del cuadro se denomina triángulo de las trazas o triángulo fundamental, sus lados son perpendiculares a la proyección de los ejes axonométricos opuestos y sus vértices coinciden en estos, su ortocentro coincide con el origen de coordenadas o vértice del triedro. Figura 4.
Triángulo de las trazas.
ISOMÉTRICA, DIMÉTRICA Y TRIMÉTRICA.
En función de la inclinación que el triedro tenga respecto del plano de proyección, así resultará en proyección la posición relativa de los ejes. Si el ángulo que cada uno de estos ejes forma con el plano de proyección -ángulo de pendiente-, es idéntico, idéntico será también el ángulo que exista entre ellos una vez queden proyectados sobre el cuadro. La suma total de ángulos entre los tres ejes es siempre 360º y por tanto en este caso el ángulo comprendido entre ellos será de 120º, cuando se da esta circunstancia, la perspectiva axonométrica adopta el término particular de ISOMÉTRICA.
Si la inclinación del triedro es tal que dos de los ejes forman 2 ángulos iguales y uno desigual, estamos en otro caso particular denominado DIMÉTRICA, denominándose TRIMÉTRICA cuando los tres ángulos son desiguales. Figuras 5 A B y C.
El triángulo de las trazas es equilátero en el primer caso, isósceles en el segundo y escaleno en el tercero.
De vuelta de unos días estivales de descanso, he decidido ponerme con uno de los temas fundamentales del Sistema Diédrico: la perpendicularidad. Es muy importante porque será útil, entre otros, para las distancias y las alturas de poliedros regulares. La perpendicularidad ya la pusimos en práctica en este problema de las PAU para dibujar unaPirámide en Sistema Diédrico.
No pierdas detalle. Te explicaré por separado los 4 casos de perpendicularidad posibles con la mayor claridad. Verás como te resulta sencillo.
1. Recta perpendicular a plano
Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.
Para dibujar una recta perpendicular a un plano dado por un punto, simplemente tendremos que dibujar sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano pasando por el punto.
Excepción: Planos paralelos a la Línea de Tierra y planos que contienen a la Línea de Tierra. En ambos casos, la recta perpendicular es una Recta de Perfil. Para ver la perpendicularidad necesitaremos un plano auxiliar de perfil.
2. Rectas perpendiculares entre sí
Dos rectas perpendiculares en el espacio, en general, no tienen sus proyecciones perpendiculares. Únicamente cuando una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección, las proyecciones de ambas rectas sobre este plano serán perpendiculares.
Esto quiere decir que, para dos rectas perpendiculares en el espacio:
Si una es horizontal, sus proyecciones horizontales son perpendiculares
Si una es frontal, sus proyecciones verticales son perpendiculares
Una recta es perpendicular a otra cuando está contenida en un plano perpendicular a dicha recta. Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.
De aquí se deduce que un plano perpendicular a la recta contiene las infinitas rectas perpendiculares a dicha recta.
Recta perpendicular a otra por un punto
Para dibujar una recta perpendicular a otra dada por un punto existen 2 posibilidades:
Dibujar una recta horizontal o frontal que tenga sus proyecciones horizontales o verticales respectivamente perpendiculares a la dada y que pase por el punto.
Dibujar un plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto y en él contener una recta. Esto lo veremos en el siguiente apartado.
3. Plano perpendicular a recta
Un plano es perpendicular a una recta cuando sus trazas son perpendiculares a las proyecciones de la recta (igual que hemos visto en el apartado 1)
Excepción: Rectas de Perfil. Para dibujar un plano perpendicular a una recta de perfil tendremos que utilizar un plano auxiliar de perfil.
Plano perpendicular a recta por un punto
Para dibujar un plano perpendicular a una recta por un punto dado utilizaremos una recta auxiliar que sea perpendicular a la dada y pase por el punto. Por sus puntos traza dibujaremos el plano perpendicular.
Ejemplo: Dibujar el plano P’-P perpendicular a la recta dada r’-r y que pase por el punto a’-a.
Dibuja la proyección horizontal de la recta s’-s que pase por a y sea perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.
Dibuja proyección vertical s’ de la recta, que pase por a’ y sea paralela a la Línea de Tierra.
Obtén el punto traza vertical de dicha recta s’-s.
Pasa la traza vertical P’ del plano perpendicular a la proyección vertical r’ de la recta
Por el punto de corte de P’ con la Línea de Tierra dibuja la traza horizontal P del plano perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.
4. Planos perpendiculares entre sí
Dos planos son perpendiculares entre sí cuando uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro.
Se deduce de aquí que:
Sus trazas no tienen que ser necesariamente perpendiculares.
Dado un plano, los infinitos planos que contienen a una recta perpendicular al dado serán perpendiculares a este.
Plano perpendicular a otro por un punto
Dado un plano P’-P y un punto a’-a, dibujar otro plano Q’-Q perpendicular al dado.
Dibuja una recta r’-r perpendicular a P’-P que pase por a’-a y halla sus puntos traza.
Dibuja cualquier plano que contenga a la recta r’-r, es decir, cuyas trazas pasen por los puntos traza de la recta.
Como puedes comprobar, este ejercicio tiene infinitas soluciones.
Plano perpendicular a otros dos por un punto
Dados los planos P’-P y Q’-Q y un punto a’-a, dibujar otro plano J’-J perpendicular a los 2 dados.
Dibuja una recta r’-r perpendicular a P’-P que pase por a’-a y halla sus puntos traza.
Dibuja una recta s’-s perpendicular a Q’-Q que pase por a’-a y halla sus puntos traza (basta con encontrar 3 puntos traza de ambas rectas)
Dibuja el plano que contiene ambas rectas r’-r y s’-s, es decir, cuyas trazas pasan por los puntos traza de ambas rectas.
Este ejercicio tiene una única solución.
Resumen
Básicamente te he explicado todos los casos de perpendicularidad posibles junto con sus excepciones. Los casos concretos se presentarán en ejercicios concretos, pero, en esencia has aprendido los conceptos generales que te permitirán deducir la solución a cualquier ejercicio.
El Sistema de Planos Acotados es una simplificación del Sistema Diédrico Ortogonal en donde se utiliza un único plano de proyección (también denominado plano de origen, del cuadro, de referencia, del horizonte o de comparación) y que se corresponde con el plano horizontal del Sistema Diédrico Ortogonal. En él se proyectan ortogonalmente los elementos del espacio.
Con un único plano de referencia nos encontramos con una indeterminación pues, si bien a cada punto del espacio le corresponde una sola proyección sobre el plano de proyección, cada proyección puede corresponderse con infinitos puntos. Para salvar esta indeterminación, en Sistema Diédrico Ortogonal utilizamos el plano vertical de proyección y en el Sistema Acotado colocamos al lado de cada proyección su distancia al Plano de Proyección o cota correspondiente.
Podemos establecer un sistema de coordenadas de dimensiones X e Y coincidentes con el Plano de Proyección y dimensión Z para las cotas o alturas. Definido el origen de coordenadas y la orientación de los ejes X e Y un punto puede venir dado por sus coordenadas. A (x, y, z) Como le sucede al punto B (1,2,3) de la Figura 1.
Se utiliza este sistema preferentemente en Topografía debido a que a grandes distancias en el plano de proyección corresponden pequeñas variaciones de altura o cota por lo que no vale la pena dibujar una proyección vertical. No obstante, puede utilizarse también para diseño industrial o cualquier otra aplicación.
La unidad de cota que se emplea generalmente en topografía es el metro siendo el milímetro en diseño industrial.
De lo que hemos dado hasta ahora en dibujo técnico las potencias es lo único nuevo que nos puede costar un poco.
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Las rectas tangentes o secantes trazadas a una circunferencia desde un punto P exterior, quedan interceptadas por la circunferencia según segmentos en los que siempre se verifica que: PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT2 = cte.
A este producto constante se le denomina POTENCIA del punto P respecto a la circunferencia. Cuando el punto es interior la potencia es negativa. FIG. 1.
EJE RADICAL Se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias. (Cada punto tendrá diferente potencia que el contiguo pero igual respecto a las dos circunferencias)
El eje radical es siempre perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias.
Eje radical de dos circunferencias secantes Los puntos comunes (X e Y) de las dos circunferencias secantes tienen igual potencia respecto a las mismas luego pertenecen al eje radical. Uniendo X e Y obtenemos dicho eje, eje que es efectivamente perpendicular al segmento O1O2. FIG. 2
La potencia de los puntos X e Y respecto de las circunferencias es NULA. Podemos comprobar como desde un punto P del eje radical se cumple:
PA x PB = PC x PD
Eje radical de dos circunferencias tangentes
La recta tangente común es el eje radical de las dos circunferencias, y como podemos comprobar, es perpendicular al segmento unión de centros O1O2. FIG. 3
Eje radical de dos circunferencias exteriores
Para calcularlo trazamos una circunferencia auxiliar O3 que corte a ambas. Los ejes radicales de cada una de las circunferencias dadas con la auxiliar se cortan en X, el cual pertenece al eje radical de las dos circunferencias dadas O1,O2 desde donde trazamos una perpendicular al segmento unión de centros O1O2. FIG. 4
CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS DADAS
Se llama centro radical de tres circunferencias dadas al punto de intersección de sus ejes radicales correspondientes. Basta para obtenerlo trazar dos de los ejes radicales de las tres circunferencias que se obtienen según los métodos descritos. Figura 5
El estrés de 2º de BACH 