Matemáticas – El estrés de 2º de BACH

Probabilidad: conceptos básicos

23 de abril de 2024 por arualvl, posted in Matemáticas

La probabilidad es simplemente qué tan posible es que ocurra un evento determinado.

Cuando no estamos seguros del resultado de un evento, podemos hablar de la probabilidad de ciertos resultados: qué tan común es que ocurran. Al análisis de los eventos gobernados por la probabilidad se le llama estadística.

El mejor ejemplo para entender la probabilidad es echar un volado:

Hay dos posibles resultados: águila o sol.

¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila? La podemos encontrar al usar la ecuación , y tal vez, intuitivamente, sepas que la probabilidad es mitad y mitad, o sea 50%. ¿Pero cómo podemos resolver eso? Probabilidad =

La fórmula para calcular la probabilidad de ciertos resultados de un evento

En este caso:

La probabilidad de echar un volado y que caiga águila

Probabilidad de un evento = (# de maneras en las que puede suceder) / (número total de resultados)

P(A) = (# de maneras en las que A puede suceder) / (número total de resultados)

Ejemplo 1

Hay seis resultados distintos.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un uno?

La fórmula de la probabilidad de sacar un '1' al tirar un dado

¿Cuál es la probabilidad de sacar un uno o un seis?

La probabilidad de sacar un 1 o un 6 al tirar un dado

Usando la fórmula de arriba:

La aplicación de la fórmula de la probabilidad

¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par (es decir, sacar un dos, un cuatro o un seis)?

¿Cuál es la probabilidad de tirar un dado y sacar un número par? La fórmula y la solución

Consejos

La probabilidad de un evento solo puede ser un número entre 0 y 1 y también puede escribirse como un porcentaje.
La probabilidad del evento suele escribirse como .
Si , el evento tiene una mayor probabilidad de ocurrir que el evento .
Si , los eventos y tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Fuente: https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-geometry/probability-basics/a/probability-the-basics#:~:text=La%20probabilidad%20es%20simplemente%20qu%C3%A9,probabilidad%20se%20le%20llama%20estad%C3%ADstica.

Derivadas

12 de marzo de 202412 de marzo de 2024 por arualvl, posted in Matemáticas

Las derivadas, en el contexto de cálculo matemático, no fueron inventadas por una sola persona, sino que se desarrollaron a lo largo de varios siglos con contribuciones de varios matemáticos importantes. Sin embargo, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son ampliamente reconocidos como los co-inventores del cálculo, que incluye el concepto de derivada.

Isaac Newton, un matemático y físico inglés, desarrolló el cálculo en la segunda mitad del siglo XVII. Newton utilizó el concepto de “fluxiones” para describir el cambio instantáneo en una cantidad variable, que es esencialmente lo que ahora llamamos derivada.

Gottfried Wilhelm Leibniz, un filósofo, matemático y científico alemán, también desarrolló el cálculo en la misma época. Leibniz introdujo la notación de diferenciación que todavía utilizamos hoy en día, incluyendo el uso de la notación “d/dx” para denotar la derivada de una función.

Ambos matemáticos hicieron contribuciones significativas al desarrollo del cálculo, y aunque hubo una controversia histórica sobre quién lo inventó primero, hoy en día se les atribuye a ambos de manera conjunta. La invención del cálculo revolucionó las matemáticas y tuvo un impacto profundo en la física y otras ciencias, permitiendo el estudio de fenómenos de cambio y movimiento de una manera más precisa y poderosa.

Significado de las derivadas

Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos. Las derivadas se usan para el cálculo de velocidades, aceleraciones, optimizar funciones, y una infinidad más de utilidades. Nos vamos a centrar en este texto simplemente en el cálculo de la derivada de una función y las reglas de derivación existentes para ello, quedándonos por ahora con la idea que hemos mencionado al principio. En temas posteriores las desarrollaremos.

Definición de derivadas

La derivada de la función con respecto a la variable , en el punto es:

f'\left( a\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}

si este límite existe.

Una definición equivalente de la derivada es también la siguiente:

f'\left( a\right) =\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}

¿Cómo se escriben las derivadas de las funciones?

La forma de escribir correctamente la derivada de una función es la siguiente:

\dfrac {d}{dx}f\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}y\left( x\right) =Df_{x}\left( x\right)

en esta expresión queda perfectamente patente que estamos derivando la función respecto a la variable . Cualquiera de las tres expresiones de la derivada con respecto a es totalmente correcta. La función a derivar suele llamarse normalmente ó . Sin embargo, es muy frecuente encontrar la siguiente notación o forma de escribir las derivadas:

Ambas expresiones de la derivada son correctas y si bien la fórmula anterior es la más utilizada por su sencillez, no queda reflejada respecto a qué variable se deriva, aunque está implícito. Para terminar, diremos que ambas notaciones son correctas y que se usan indistintamente en la bibliografía existente, pudiendo afirmar que:

f'\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}f\left( x\right) =\dfrac {df\left( x\right) }{dx}

lo que es equivalente a la siguiente expresión dependiendo de cómo se llame la función ó :

y'\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}y\left( x\right) =\dfrac {dy\left( x\right) }{dx}

Cálculo de las derivadas a partir de la definición

El proceso de cálculo de la derivada de una función se llama diferenciación. Siempre se deriva o diferencia, se usa mayoritariamente la primera palabra, respecto a una variable, normalmente , de forma genérica y una vez que hemos obtenido la derivada sustituimos en la el punto donde queremos calcular la derivada, particularizando así el valor de ésta. La forma de calcular la derivada usando la definición consiste en aplicar la fórmula de la definición. En el siguiente vídeo os explico un ejercicio práctico en el que calculamos el valor en un punto de la derivada de una función usando su definición mediante el límite.

Cálculo de las derivadas de las funciones

Nunca se usa la definición de la derivada de una función para calcular su función derivada ya que es un proceso largo y demasiado complejo, máxime cuando existe otro método mucho más rápido y sobre todo menos propenso a cometer errores. Sin embargo, en algunos exámenes suele preguntarse al alumno que calcule la derivada de una función mediante la aplicación de la definición para que el alumno demuestre que tiene destreza calculando el límite de la función que es necesario.

Para calcular la derivada de una función vamos a usar la Tabla de derivadas o Tabla de fórmulas de derivadas junto con las reglas de derivación. Estas fórmulas no aparecen por arte de magia, sino que se infieren mediante un proceso de inducción que consiste en derivar aplicando la definición de derivada a funciones genéricas para así obtener una regla que permita derivarla.

Reglas de derivación

Sean y dos funciones que vamos a denotar por y .

\left( f\times g\right) '=f'\times g+f\times g'

Regla de la cadena

Permite derivar una función que es composición de varias funciones. Matemáticamente se expresa por:

\left[ g\left( f\left( x\right) \right) \right] '=g'\left( f\left( x\right) \right) \cdot f'\left( x\right)

Tabla de derivadas. Fórmulas de derivadas o formulario de derivadas

La tabla de derivadas contiene las fórmulas de las derivadas para todos los tipos de funciones más frecuentes. Para poder usarla sólo hay que identificar la función que queremos derivar y aplicar la correspondiente fórmula.

Fuente:https://fisicaymates.com/derivadas/

Funciones

30 de enero de 2024 por arualvl, posted in Matemáticas

Dados dos conjuntos y , llamamos función a la correspondencia de en en la cual todos los elementos de tienen a lo sumo una imagen en , es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por .

El número perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, , asociado por al valor , se le llama variable dependiente. La imagen de se designa por . Luego

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable o .

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: y , de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de el valor de .

Dominio

Propiedades

1 Asociativa.

2 No es conmutativa.

3El elemento neutro es la función identidad, .

Ejemplos de coposición de funciónes

Sean las funciones:

Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o reciproca de a otra función que cumple que:

Si , entonces .

Podemos observar que:

El dominio de es el recorrido de .

El recorrido de es el dominio de .

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

Las gráficas de y son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, y la inversa de una función, .

Pasos del cálculo de la función inversa

1 Se escribe la ecuación de la función en e .

2 Se despeja la variable en función de la variable .

3 Se intercambian las variables.

Fuente:https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/funciones.html

Geometría analítica

14 de diciembre de 2023 por arualvl, posted in Matemáticas

¿Qué es la geometría analítica?

La geometría analítica es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación, etcétera. Para ello emplea técnicas básicas de análisis matemático y de álgebra

Utiliza un sistema de coordenadas conocido como el Plano cartesiano, que es bidimensional y está compuesto por dos ejes: uno de abscisas (eje x) y otro de ordenadas (eje y). Allí se pueden estudiar todas las figuras geométricas que sean de nuestro interés, asignando a cada punto de la misma un lugar puntual de coordenadas (x, y).

Así, los análisis de la geometría analítica usualmente comprenden la interpretación matemática de una figura geométrica, es decir, la formulación de ecuaciones. O bien puede ser lo contrario: la representación gráfica de una ecuación matemática. Esta equivalencia se encuentra plasmada en la fórmula y = f(x), donde f es una función de algún tipo.

La geometría analítica es un campo fundamental de las matemáticas que suele formar parte del pensum de estudios de la secundaria.

Historia de la geometría analítica

El fundador de este campo de estudio se considera el filósofo francés René Descartes (1596-1650), con el apéndice titulado “La Geometrie” en su célebre obra Discurso del método.

Sin embargo, en el siglo XI, el matemático persa Omar Khayyam (c.1048-c.1131) empleó ideas semejantes, que Descartes difícilmente podía conocer. Es decir que ambos probablemente las inventaron por cuenta propia.

Dado lo herméticas de las ideas de Descartes, el matemático holandés Franz van Schooten (1615-1660) y sus colaboradores ampliaron, desarrollaron y divulgaron la geometría analítica en Occidente. Solía llamársela “Geometría cartesiana”, para rendir homenaje a su creador, pero ese término hoy en día prefiere usarse para referirse únicamente al apéndice escrito por Descartes.

Aplicaciones de la geometría analítica

geometria analitica puente colgante san francisco aplicaciones — Los puentes colgantes pueden ser diseñados gracias a la geometría analítica.

La geometría analítica es una de las herramientas conceptuales más útiles de la humanidad, y hoy en día sus aplicaciones podemos verlas en, por citar unos ejemplos:

Los puentes colgantes. Desde los antiguos puentes colgantes de madera, hasta sus versiones modernas con cables de acero, el principio geométrico de la parábola se aplica en cada uno de ellos.
Las antenas parabólicas. Las antenas parabólicas para captar información satelital tienen la forma de un paraboloide, generado por su reflector que gira sobre el eje, persiguiendo la señal. Gracias a la propiedad de reflexión de la parábola, el disco de la antena puede reflejar la señal satelital hacia el dispositivo de alimentación.
La observación astronómica. Los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que describe una elipse, como lo dedujo Johannes Kepler (1571-1630), y no una circunferencia, como creía Copérnico (1473-1543). Dichos cálculos fueron posibles sólo empleando la Geometría analítica.

Fórmulas de la geometría analítica

geometria analitica figuras circulo elipse parabola hiperbola — La geometría analítica ofrece fórmulas para las figuras geométricas.

La geometría estudia las figuras geométricas y obtiene sus ecuaciones básicas, como son:

Las rectas se describen mediante la fórmula ax + by = c.
Los círculos se describen mediante la fórmula x² + y² = 4.
Las hipérbolas se describen mediante la fórmula xy = 1.
Las parábolas se describen mediante la fórmula y = ax² + bx + c.
Las elipses se describen mediante la fórmula (x²/a²) + (y²/b²) = 1.

Fuente: https://concepto.de/geometria-analitica/#ixzz8LrdpUHPJ

Vectores

8 de noviembre de 2023 por arualvl, posted in Matemáticas

Los vectores son segmentos de una línea recta que están orientados dentro de un plano bidimensional o tridimensional, también conocido como un espacio vectorial. Su expresión matemática se representa mediante una letra con una flecha en la parte superior y, a nivel gráfico,también se utiliza el recurso de la fecha para señalarlos.

Los vectores pueden representar magnitudes físicas con intensidad y dirección, como la fuerza, el desplazamiento y la velocidad. Además, suelen representarse en planos a través de coordenadas.

¿Cuáles son las características de los vectores?

En líneas generales, los vectores tienen las siguientes características:

Sentido: viene representado por la punta de la flecha que se expresa gráficamente, indicando el lugar hacia el cual se dirige el vector.
Dirección: es la recta sobre la que se plantea el vector, la cual es continua e infinita en el espacio.
Módulo: se trata de la longitud entre el inicio y fin del vector, es decir, dónde empieza y dónde termina la flecha.
Amplitud: es la expresión numérica de la longitud gráfica del vector.
Punto de aplicación: se refiere al lugar geométrico en el que inicia el vector a nivel gráfico.
Nombre: es la letra que acompaña al vector que se representa gráficamente, coincidiendo con la magnitud o con la suma del punto de aplicación y el fin de su valor.

¿Qué tipo de vectores existen?

Los vectores pueden clasificarse en:

Vectores unitarios: cuya longitud es la unidad, es decir, que su módulo es igual a uno.
Vectores libres: son los que tienen un mismo sentido, dirección y módulo, por lo que su punto de aplicación es libre o no está definido.
Vectores deslizantes: su punto de aplicación se puede deslizar en una recta, sin que se consideren vectores diferentes.
Vectores fijos o ligados: aplicados a un determinado punto.
Vectores concurrentes o angulares: sus líneas de acción pasan por un mismo punto, formando un ángulo entre ellas.
Vectores paralelos: las líneas del vector son paralelas.
Vectores opuestos: aunque son de igual dirección y magnitud, tienen sentidos contrarios.
Vectores colineales: comparten una misma recta de acción.
Vectores coplanarios: son los vectores cuyas rectas de acción están ubicadas en un mismo plano.
Vectores axiales (también conocidos como pseudovectores): son aquellos cuya dirección señala un eje de rotación, es decir, que están ligados a un efecto de giro.

¿Cuál es la diferencia entre las magnitudes vectoriales y las de escalares?

En física, existen dos tipos de magnitudes: las escalares y las vectoriales. Las primeras son aquellas que están señaladas con un número y sus unidades, mientras que las segundas, además de estar representadas por un valor numérico, se identifican con un sentido y dirección.

La elección de escalares o vectoriales para determinar la magnitud física dependerá de la naturaleza de lo que se está midiendo o calculando. Por ejemplo, para describir temperaturas, densidades o masas, se utiliza el recurso de la representación numérica, entendiéndose como magnitudes escalares. No obstante, para calcular velocidades, fuerzas, aceleración, energía térmica, pesos o potencias, se utilizan vectores.

¿Cómo se representan gráficamente los vectores?

Un vector, a la hora de ser graficado, debe cumplir con una serie de características, tales como:

Todo vector se vale de un símbolo de una flecha como representación gráfica.
Si los extremos de la flecha permanecen en el mismo lugar y orden, su símbolo para representarla no varía, independientemente de si es recta o tiene una curvatura.
Los vectores suelen encadenarse para indicar su suma, por lo que se une el extremo final de la flecha del primer vector (es decir, el triángulo del símbolo) con el extremo inicial del siguiente (es decir el origen). De esta manera, se mantiene la dirección de sus dos extremos.
Si una flecha vectorial se cierra en sí misma, significa que no se producen operaciones algebraicas.

fuente: https://www.ferrovial.com/es/stem/vectores/

Matrices

22 de septiembre de 2023 por arualvl, posted in Matemáticas

El primer tema que estamos dando en matemáticas son las matrices.

Una matriz es un arreglo de números ordenado, que consiste en una serie de filas y columnas, de modo que cada elemento ocupa una posición y puede ser identificado por su número de fila y de columna.

Dadas dos matrices podremos realizar ciertas operaciones entre ellas siempre que cumplan determinadas condiciones.

Una de las aplicaciones mas útiles de las matrices es la resolución de sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos representar este sistema con una matriz cuadrada de 2×2 (llamémosla A), multiplicada por un vector columna de incógnitas (vector x) y ese producto igualarlo al vector columna de términos independientes (digamos B). Este sistema se representaría de la siguiente manera:

A.x = B

Lo cual recuerda mucho a una ecuación lineal simple en la que tenemos una incógnita (x) que está multiplicada por un coeficiente (A) y esto es igual a un valor (B), para resolver esa ecuación lineal basta con dividir a ambos miembros por el coeficiente A y de esta forma despejaríamos la incógnita x. No se puede hacer divisiones con matrices pero se puede recurrir a una operación análoga que es multiplicar ambos miembros por la matriz inversa de A (siempre que exista la matriz inversa de A), con esto se despeja el vector incógnita.

x = A^-1.B

Definición de una Matriz en Matemática

Una matriz la representamos con una letra del alfabeto en mayúscula (por ejemplo A, B, C…), luego podemos explicitar sus elementos, para ello vamos a escribir sus números en una tabla que contendrá una determinada cantidad de filas y columnas.

En la figura 1 vemos un ejemplo de una matriz genérica A de m filas y n columnas, vemos que en la derecha de la igualdad se ha explicitado la matriz escribiendo sus elementos a_ij.

La matriz de la figura 1 hace referencia a una matriz cualquiera, se suele utilizar para las definiciones y propiedades de las matrices.

Ejemplos de matrices con valores

Vamos a ver ejemplos de matrices que tienen características particulares ya sea por su tamaño o por la forma en la que están distruibuidos sus elementos.

Matriz Cuadrada

Una matriz cuadrada es una matriz en la que el número de filas coincide con el número de columnas. En la figura 2 vemos un ejemplo de una matriz B de 3 filas y 3 columnas.

En una matriz cuadrada tenemos una diagonal principal que son los elementos b_ij para los cuales i=j, en el caso de la figura 2 son los elementos b₁₁, b₂₂ y b₃₃ cuyos valores son 1, 0 y 2 respectivamente.

La diagonal principal divide a la matriz en dos partes, un triángulo superior y un triángulo inferior.

Matriz Diagonal

Una matriz diagonal es una matriz en la que todos sus elementos no nulos están ubicados en la diagonal principal y el resto de los elementos son 0. En las figuras 3 y 4 vemos ejemplos de matrices diagonal, en particular la matriz de la figura 4 se la conoce como matriz identidad.

Matriz Triangular

Una matriz triangular es una matriz que tiene todos sus elementos no nulos de un lado de la diagonal principal y el resto de los elementos son 0. Podemos tener matrices triangular superior y matrices triangular inferior, como se observa en las figuras 5 y 6 respectivamente.

Conclusión

Una matriz en matemática es una arreglo de números ordenados en una cantidad fija de filas y columnas.

Las matrices cuadradas son las matrices en las que el número de fila coincide con el número de columnas. En una matriz cuadrada tenemos una diagonal principal que es el elemento en el cual el número de fila coincide con el número de columna.

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos no nulos se encuentran en la diagonal principal. Particularmente la matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos los elementos valen 1.

Las matrices triangulares son aquellas en la que todos los elementos no nulos se encuentran en la diagonal principal y por encima o por debajo, de aquí las podemos clasificar en matriz triangular superior o inferior.

Fuente: https://gamedevtraum.com/es/matematica/algebra/que-es-una-matriz-en-matematica-definicion-y-ejemplos/

Derivada de la suma/resta de dos funciones	$\left( f\pm g\right) '=f'\pm g'$	La derivada de una suma/resta de dos funciones es la suma/resta de las derivadas de estas funciones.
Derivada del producto de dos funciones	$\left( f\times g\right) '=f'\times g+f\times g'$	La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda derivada.
Derivada del cociente de dos funciones	$\left( \dfrac {f}{g}\right) ^{'}=\dfrac {f'\cdot g-f\cdot g'}{\left( g\right) ^{2}}$	La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado.
Derivada del producto de una constante a por una función	$\left( a\cdot f\right) '=a\cdot f'$	La derivada de una función por una constante es la deriva de la función por la constante sin derivar.

Derivada de una constante	$f\left( x\right) =k$	$f'\left( x\right) =0$
Derivada de una función elevada a una constante	$y=\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}$	$y'=n\cdot f'\left( x\right) \cdot \left[ f\left( x\right) \right] ^{n-1}$
Derivada función exponencial neperiana	$y=e^{f\left( x\right) }$	$y'=f'\left( x\right) e^{f\left( x\right) }$
Derivada función exponencial	$y=a^{\left( f\left( x\right) \right) }$	$y'=f'\left( x\right) a^{\left( f\left( x\right) \right) }\ln a$
Derivada función logarítmica	$y=\ln f\left( x\right)$	$y'=\dfrac {f'\left( x\right) }{f\left( x\right) }$
Derivada función seno	$y=\sin \left( f\left( x\right) \right)$	$y'=f'\left( x\right) \cos \left( f\left( x\right) \right)$
Derivada función coseno	$y=\cos \left( f\left( x\right) \right)$	$y'=-f'\left( x\right) \sin \left( f\left( x\right) \right)$
Derivada función tangente	$y=\tan \left( f\left( x\right) \right)$	$y'=\dfrac {f\left( x\right) }{\cos ^{2}f\left( x\right) }$
Derivada función potencial exponencial	$y=\left( f\left( x\right) \right) ^{g\left( x\right) }$	$y'=y\left[ g'\ln \left( f\right) +g\dfrac {f'}{f}\right]$