Derivadas

Las derivadas, en el contexto de cálculo matemático, no fueron inventadas por una sola persona, sino que se desarrollaron a lo largo de varios siglos con contribuciones de varios matemáticos importantes. Sin embargo, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son ampliamente reconocidos como los co-inventores del cálculo, que incluye el concepto de derivada.

Isaac Newton, un matemático y físico inglés, desarrolló el cálculo en la segunda mitad del siglo XVII. Newton utilizó el concepto de “fluxiones” para describir el cambio instantáneo en una cantidad variable, que es esencialmente lo que ahora llamamos derivada.

Gottfried Wilhelm Leibniz, un filósofo, matemático y científico alemán, también desarrolló el cálculo en la misma época. Leibniz introdujo la notación de diferenciación que todavía utilizamos hoy en día, incluyendo el uso de la notación “d/dx” para denotar la derivada de una función.

Ambos matemáticos hicieron contribuciones significativas al desarrollo del cálculo, y aunque hubo una controversia histórica sobre quién lo inventó primero, hoy en día se les atribuye a ambos de manera conjunta. La invención del cálculo revolucionó las matemáticas y tuvo un impacto profundo en la física y otras ciencias, permitiendo el estudio de fenómenos de cambio y movimiento de una manera más precisa y poderosa.

Significado de las derivadas

Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos. Las derivadas se usan para el cálculo de velocidades, aceleraciones, optimizar funciones, y una infinidad más de utilidades. Nos vamos a centrar en este texto simplemente en el cálculo de la derivada de una función y las reglas de derivación existentes para ello, quedándonos por ahora con la idea que hemos mencionado al principio. En temas posteriores las desarrollaremos.

Definición de derivadas

La derivada de la función con respecto a la variable , en el punto es:

f'\left( a\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}

si este límite existe.

Una definición equivalente de la derivada es también la siguiente:

f'\left( a\right) =\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}

¿Cómo se escriben las derivadas de las funciones?

La forma de escribir correctamente la derivada de una función es la siguiente:

\dfrac {d}{dx}f\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}y\left( x\right) =Df_{x}\left( x\right)

en esta expresión queda perfectamente patente que estamos derivando la función respecto a la variable . Cualquiera de las tres expresiones de la derivada con respecto a es totalmente correcta. La función a derivar suele llamarse normalmente ó . Sin embargo, es muy frecuente encontrar la siguiente notación o forma de escribir las derivadas:

Ambas expresiones de la derivada son correctas y si bien la fórmula anterior es la más utilizada por su sencillez, no queda reflejada respecto a qué variable se deriva, aunque está implícito. Para terminar, diremos que ambas notaciones son correctas y que se usan indistintamente en la bibliografía existente, pudiendo afirmar que:

f'\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}f\left( x\right) =\dfrac {df\left( x\right) }{dx}

lo que es equivalente a la siguiente expresión dependiendo de cómo se llame la función ó :

y'\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}y\left( x\right) =\dfrac {dy\left( x\right) }{dx}

Cálculo de las derivadas a partir de la definición

El proceso de cálculo de la derivada de una función se llama diferenciación. Siempre se deriva o diferencia, se usa mayoritariamente la primera palabra, respecto a una variable, normalmente , de forma genérica y una vez que hemos obtenido la derivada sustituimos en la el punto donde queremos calcular la derivada, particularizando así el valor de ésta. La forma de calcular la derivada usando la definición consiste en aplicar la fórmula de la definición. En el siguiente vídeo os explico un ejercicio práctico en el que calculamos el valor en un punto de la derivada de una función usando su definición mediante el límite.

Cálculo de las derivadas de las funciones

Nunca se usa la definición de la derivada de una función para calcular su función derivada ya que es un proceso largo y demasiado complejo, máxime cuando existe otro método mucho más rápido y sobre todo menos propenso a cometer errores. Sin embargo, en algunos exámenes suele preguntarse al alumno que calcule la derivada de una función mediante la aplicación de la definición para que el alumno demuestre que tiene destreza calculando el límite de la función que es necesario.

Para calcular la derivada de una función vamos a usar la Tabla de derivadas o Tabla de fórmulas de derivadas junto con las reglas de derivación. Estas fórmulas no aparecen por arte de magia, sino que se infieren mediante un proceso de inducción que consiste en derivar aplicando la definición de derivada a funciones genéricas para así obtener una regla que permita derivarla.

Reglas de derivación

Sean y dos funciones que vamos a denotar por y .

\left( f\times g\right) '=f'\times g+f\times g'

Regla de la cadena

Permite derivar una función que es composición de varias funciones. Matemáticamente se expresa por:

\left[ g\left( f\left( x\right) \right) \right] '=g'\left( f\left( x\right) \right) \cdot f'\left( x\right)

Tabla de derivadas. Fórmulas de derivadas o formulario de derivadas

La tabla de derivadas contiene las fórmulas de las derivadas para todos los tipos de funciones más frecuentes. Para poder usarla sólo hay que identificar la función que queremos derivar y aplicar la correspondiente fórmula.

Fuente:https://fisicaymates.com/derivadas/

Derivada de la suma/resta de dos funciones	$\left( f\pm g\right) '=f'\pm g'$	La derivada de una suma/resta de dos funciones es la suma/resta de las derivadas de estas funciones.
Derivada del producto de dos funciones	$\left( f\times g\right) '=f'\times g+f\times g'$	La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda derivada.
Derivada del cociente de dos funciones	$\left( \dfrac {f}{g}\right) ^{'}=\dfrac {f'\cdot g-f\cdot g'}{\left( g\right) ^{2}}$	La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado.
Derivada del producto de una constante a por una función	$\left( a\cdot f\right) '=a\cdot f'$	La derivada de una función por una constante es la deriva de la función por la constante sin derivar.

Derivada de una constante	$f\left( x\right) =k$	$f'\left( x\right) =0$
Derivada de una función elevada a una constante	$y=\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}$	$y'=n\cdot f'\left( x\right) \cdot \left[ f\left( x\right) \right] ^{n-1}$
Derivada función exponencial neperiana	$y=e^{f\left( x\right) }$	$y'=f'\left( x\right) e^{f\left( x\right) }$
Derivada función exponencial	$y=a^{\left( f\left( x\right) \right) }$	$y'=f'\left( x\right) a^{\left( f\left( x\right) \right) }\ln a$
Derivada función logarítmica	$y=\ln f\left( x\right)$	$y'=\dfrac {f'\left( x\right) }{f\left( x\right) }$
Derivada función seno	$y=\sin \left( f\left( x\right) \right)$	$y'=f'\left( x\right) \cos \left( f\left( x\right) \right)$
Derivada función coseno	$y=\cos \left( f\left( x\right) \right)$	$y'=-f'\left( x\right) \sin \left( f\left( x\right) \right)$
Derivada función tangente	$y=\tan \left( f\left( x\right) \right)$	$y'=\dfrac {f\left( x\right) }{\cos ^{2}f\left( x\right) }$
Derivada función potencial exponencial	$y=\left( f\left( x\right) \right) ^{g\left( x\right) }$	$y'=y\left[ g'\ln \left( f\right) +g\dfrac {f'}{f}\right]$